x-sinx等价于什么

$x - \sin x$ 和 $\cos x - \frac{1}{n} \cos nx$ 在 $[0,2\pi]$ 上是等价的。

证明：

令 $\epsilon > 0$，则存在正整数 $N$，使得对于所有 $n \ge N$，有 $$|\cos x - \frac{1}{n} \cos nx| < \epsilon$$（因为 $\cos x$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数）。因此，我们有 $$|\cos x - \frac{1}{n} \cos nx| \le |\cos x - \cos(nx)|+|\cos(nx) - \frac{1}{n} \cos nx| < \epsilon.$$ 由于我们可以任意小地选择 $\epsilon$，所以我们可以得出结论：$\lim_{n \to \infty}\cos x - \frac{1}{n} \cos nx = 0$。

另一方面，我们知道 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos nx = 0$（通过夹逼定理从 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$ 得出）。因此，根据极限的代数运算规则，我们得到 $\lim_{n \to \infty} \cos x - \frac{1}{n} \cos nx = \lim_{n \to \infty} (\cos x - \frac{1}{n} \cos nx) = 0$。